math – update

blogging & searching for true math …

El Conjunto de Cantor & 2^n

Leave a comment

Estamos en vísperas de Navidad, una fecha que – para todo el que crea que todas las creencias conducen últimamente a un mismo punto de partida que es el AMOR – nos invita a renovar esperanzas, y acrecenta nuestros más profundos deseos de DAR!

Y muy en particular, de compartir con las nuevas generaciones la visión de la matemática que hemos tenido la dicha de lograr, a pesar de haber nacido en un mundo que usualmente aún no la comprende…

Es por esto que para esta edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews, quiero compartir con tod@s la notable relación que he descubierto entre el Conjunto de Cantor Ternario y el que creo es el recurso didáctico-matemático más importante y bello de los últimos tiempos: Los Diagramas de Factorización de Brent Yorgey

A aquellos que no los conozcan aún debo decirles que estos diagramas son mate-mágicos! Tú los miras por primera vez y dices: Lindo!… Los vuelves a mirar y dices: Oh! “Veo” los factores con tan sólo “ver” la forma del diagrama!!… Y por último, como matemátic@ dices WOW!!!…. Al “ver” aún más…

Math images Natural Numbers

Pares dan un factor 2, Triángulos dan un factor 3, Cuadrados dan un factor 4, Pentágonos dan un factor 5. Y en general Círculos – de p puntos, con p un número primo – dan cada factor primo p…

Tod@s podemos ver que cada diagrama en forma de triángulo – o formado por triángulos – da un número divisible por 3 (Por ej. como los diagramas de los números 12 = 3 x 2 y 15 = 5 x 3 ). O bien un círculo de 7 pentágonos representa el número 7 x 5 = 35. Y hay diagramas mucho más “compuestos”!… Como un círculo de: 5 círculos, de 5 círculos, con 5 puntos cada uno, es decir 5 x 5 x 5 = 125. Aquí cabe destacar la bella – y natural – relación entre los números primos y la figura geométrica más extraordinaria!…

Y cada diagrama nos da una factorización completa del número que representa.

El efecto “WOW…..” lo obtenemos si – al mirar la fantástica animación creada por datapointed.net, y ver cómo los diagramas se vuelven más complicados – decidimos buscar algún orden en el creciente cáos. Así, notamos por ejemplo que diagramas cuadrados, hechos de cuadrados, hechos a su vez de cuadrados, se ven sumamente armónicos y especiales! Lo mismo ocurre repitiendo cualquier otro diagrama. Lo que hemos descubierto:

Las potencias de un número n (n x n x …) están representadas por diagramas que no sólo son más simétricos, armónicos y bellos, sino que son matemáticamente especiales, pues éstos se vuelven fractales!

El caso que más claramente puedo mostrarles es el de 3 x 3 x ..: Al crecer la potencia vemos cómo el diagrama se transforma en el conocido y hermosísimo Triángulo de Sierpinski.

Pero más aún – y por fin llegando al conjunto de Cantor – si cambiamos un poco los diagramas originales de las potencias de 2 – de manera que efectivamente 4 sea un par de pares, 8 sea un par de pares de pares, etc… – y de modo que: 1 esté representado por un gran punto (digamos disco de diámetro D = 1 = 3^0, sobre un eje fijo), 2 por un par de puntos contenidos en el punto original y que lo reemplazan (de diámetro D/3 cada uno, sobre el mismo eje, y tangentes al borde del punto original – por lo tanto dejando un espacio entre cada punto donde cabría exactamente un tercer punto), 4 estará representado por 4 puntos, construídos de manera análoga, 2 dentro de cada uno de los 2 puntos ya construídos (y que tendrán diámetro D/9 = D/3^2). Y así sucesivamente…

;) ...

😉 …

Es decir, con esta nueva diagramación lo que hemos obtenido es un conjunto de discos decrecientes construídos como un Conjunto de Cantor!!!…..

Así, la representación de las – siempre especiales – potencias de 2 nos han llevado al maravilloso universo del Conjunto de Cantor Ternario…

 

❤ Feliz Navidad y Próspero 2000 + 2^2^2 ❤

Fractal Christmas Tree - tumblr

 

Advertisements

Author: Math - Update

Updating Math In Our Mind & Heart!!...

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s