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Visualizando Números Naturales, Factores, y … Secretos

2 Comments

 Esta es una de las visualizaciones más bellas – y de inimaginables alcances – que he descubierto en mi básqueda de verdadera matemática-elemental:

Diagramas de Factorización – Brent Yorgey (2012)

“Lindo!”:  Primero, se VE que cada número natural (números con los que naturalmente contamos!) está dibujado con puntos de colores!: 1 con un punto, 2 con dos puntos, 3 con tres, y así sucesivamente…

“Oh … Interesante!”:  Luego, se VE más, pues los puntos se agrupan cada vez de diferentes maneras (diagramas!): Formando pares, triángulos, cuadrados, pentágonos, o círculos.

Y más aún, si buscamos qué tienen en común los números de cierta forma en particular, entonces se VE que, Oh!: Cada diagrama formado por pares es de algún número par, o sea, divisible por 2 … Cada diagrama hecho de triángulos – o de forma triangular – es de un número divisible por 3… Cada diagrama hecho de cuadrados – o de forma cuadrada – corresponde a un número divisible por 4 … Cada diagrama hecho de pentágonos – o de forma pentagonal – está asociado a un número divisible por … cinco! … Y finalmente, se VE que en todos los diagramas, son los círculos – esta forma primordial y mística – los que siempre tienen un número primo de elementos o puntos, correspondiendo así los restantes factores primos de los números – estos elementos fundamentales en la construcción de los números naturales – … p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, 101, … … … Una lista ciertamente interminable!

Así, se puede VER, que un número cuyo diagrama es en forma triangular y formado de cuadrados, es divisible por 3 y por 4 (Véase en la imagen los números 12, 24, 36, y 48). O bien, que un círculo de 7 pentágonos, corresponde a un número divisible al menos por 7 y 5. O bien, que un círculo, de 7 círculos, de 7 puntos cada uno, representa el número 7 x 7 = 49 (el último diagrama en la imagen!).

Casi por magia, ahora se puede factorizar cualquier número sólo “mirándolo” en su correspondiente diagrama: Éstos efectivamente muestran la completa factorización de cada número natural, i.e. todos sus factores.

Pares dan el factor 2, Triángulos dan el factor 3, Cuadrados dan un factos 4 – que incluímos por su belleza a pesar de no ser un número primo! – , Pentágonos dan el factor 5, y los Círculos – esta forma geométrica fundamental – dan todos los restantes factores primos – las partes indivisibles de los números – .

Ahora… Haz un  click!  y sólo disfruta esta danza maravillosa de las factorizaciones…

Y…

“WOW…”: Si ya miramos esta extraordinaria animación creada por datapointed.net, VEMOS que para números más grandes… los diagramas se vuelven más y más complicados! (Podemos encontrar de hecho cualquier configuración, como una que sea un círculo hecho de 11 cuadrados, que a su vez están formados por triángulos de puntos ( 11 x 4 x 3 = 132 ). En fin!). Pero si miramos más cuidadosamente, intentando encontrar algún orden en el caos creciente – tratando de encontrar algún patrón que nos llame la atención – , entonces VEMOS que algunos digramas – por ej., diagramas cuadrados, hechos de cuadrados, que a su vez están hechos de cuadrados de puntos – son realmente hermosos y especiales.

Análogamente, triángulos, hechos de triángulos, hechos de triángulos, … , se VEN simplemente WOW!!… Lo mismo ocurre con pentágonos. Y más generalmente, con círculos de p elementos, que a su vez son círculos de p elementos, que a su vez …  (p un primo).

Lo que hemos descubierto – orden, una cierta simetría, la belleza – con tan sólo mirar estas figuras, es algo que tod@ niñ@ puede captar y recordar!

Sin embargo – y haciendo honor al típico desarrollo de las ideas en matemática – , se ha escapado de la matemática-elemental a la matemática-avanzada-de la década de los 80´s, pues hemos descubiertos una conección inesperada…

Los números que son potencia de un número primo p ( es decir p x p x … ) están representados por diagramas – que no sólo son simétricos, armónicos, y bellos – , sino que son objetos altamente especiales de la matemática moderna llamados… Fractales!!…

En la pantalla  de un PC sólo se VE bien el caso del llamado Triángulo de Sierpinski  y que corresponde a los números de la forma 3 x 3 x 3 x … :

Sierpinski Triangle - Diagram of a high power of 3

Triángulo de Sierpinski – Diagrama de  3 x 3 x 3 x 3 x …

Cabe destacar, que las potencias de 2 también se pueden VER como un fractal, si tan sólo modificamos correctamente los diagramas, simplemente repitiendo los dos primeros pasos en los diagramas originales – es decir, dividiendo cada punto en dos puntos más pequeñoscada vez – . Lo que se obtiene es entonces un conjunto con las características del famoso, complejo y fascinante  Conjunto de Cantor (Véase también: Conjunto de Cantor y Potencias de 2; Edicion 6.9 del Carnaval de Matematicas; Resumen Edición 6.9; Fractals ; Sierpinski Dreieck).

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PS: Seguir buscando… Siempre hay algo más que VER…

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Author: Math - Update

Updating Math In Our Mind & Heart!!...

2 thoughts on “Visualizando Números Naturales, Factores, y … Secretos

  1. Reblogged this on math – update and commented:

    El mejor regalo para cualquier niña o niño!🌈🌈…

    Like

  2. Pingback: Welcome To Math-Update´s Advent Calendar 2000 + 2^2^2 ….. Day #1: Best X-MATHS Gift! – Yorgey´s Factorization Diagrams | math - update

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